Hay una escena de Interstellar que nunca se me ha ido de la cabeza. La tripulación baja a un planeta que orbita alrededor de Gargantúa, un agujero negro enorme, y se queda allí unas horas. Cuando vuelven a subir, para quien se quedó en la nave han pasado veintitrés años. Y luego los mensajes desde la Tierra: hijos que crecieron, y después envejecieron, hablando a un padre que para ellos nunca volvió.
Siempre la di por buena, como se dan por buenas las cosas de las películas: con una confianza genérica en que detrás había física de verdad. Detrás estaba Kip Thorne, así que sí. Pero nunca había hecho las cuentas. ¿Qué tan rápido hay que ir para que el tiempo se frene de verdad? ¿Qué tan cerca de un agujero negro? ¿Y qué pesa más, la velocidad o la gravedad?
Después de Solar Drift, esta vez quise usar Claude para algo más ambicioso: un modelo de los efectos relativistas de un viaje espacial, los que siempre he visto en el cine, pero con números reales. El resultado es Time Drift, una aplicación que funciona en el navegador.
El viaje
Un cohete sale de la Tierra y acelera a 1 g constante, la misma aceleración que sentimos estando de pie: la tripulación viaja cómoda. A mitad de camino se da la vuelta y frena. El destino es Sagittarius A*, el agujero negro de 4,3 millones de masas solares del centro de la Vía Láctea, a 26.700 años luz de aquí.
Al llegar, el cohete desciende en espiral hasta rozar la esfera de fotones, donde orbita incluso la luz, y se queda un año. Después sube de nuevo, atraviesa un grupo de tres planetas gigantes usando el efecto honda para cambiar de rumbo y vuelve a casa, otra vez a 1 g.
En pantalla hay dos relojes con calendario, uno en la Tierra y otro en el cohete. Al salir marcan el mismo instante. Luego se separan, y no poco. El resultado final me dejó un poco descolocado: la tripulación envejece poco más de 40 años, en la Tierra pasan 53.416. Quien sale hoy aterriza después del año 55.000.
Qué se ve
- La vista del viaje: el cohete, la Tierra, el agujero negro con su disco de acreción, los planetas gigantes y la trayectoria
- Los dos relojes con calendario, Tierra y cohete, con la diferencia acumulada y el ritmo del momento (“1 s a bordo = … en la Tierra”)
- Abajo, las ecuaciones actualizándose en tiempo real: cada término aparece cuando se vuelve relevante
- Una pequeña vista hacia delante que muestra cómo se deforma el cielo cerca de la velocidad de la luz
- Un mapa de todo el recorrido
Controles
- Play, pausa, reproducción hacia atrás y saltos entre las 14 fases del viaje
- Velocidad de ¼× a 4× y línea de tiempo arrastrable
- Teclado: espacio para pausar, flechas para moverse, R para ir hacia atrás
- Al terminar, el viaje vuelve a empezar solo
Hasta aquí llego. Pero cuando se pasa a las métricas de Schwarzschild, las rapideces y las hipérbolas de Kepler, mi física del instituto saca la bandera blanca. Así que, para los detalles sobre fórmulas, cálculos y cómo está construido el modelo, le paso la palabra directamente a Claude, que escribió todo eso y, por lo visto, hasta lo entendió.
La palabra a Claude
Gracias. Intento explicar qué hay detrás de los números. Primero, la vista es esquemática: distancias que van de 6.000 km a 26.700 años luz no caben en la misma pantalla. Las direcciones y los ángulos de giro son reales, las distancias están comprimidas. Los números de los paneles, en cambio, se calculan de forma exacta.
Dos maneras de frenar un reloj
La relatividad predice dos efectos distintos. El primero viene de la relatividad especial: un reloj en movimiento va más lento que uno en reposo, según el factor de Lorentz.
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
El segundo viene de la relatividad general: un reloj dentro de un campo gravitatorio va más lento que uno lejos de cualquier masa. Para una masa esférica que no gira se aplica la métrica de Schwarzschild.
dτ/dt = √(1 − rₛ/r) rₛ = 2GM/c²
rₛ es el radio de Schwarzschild: 8,9 mm para la Tierra, 3 km para el Sol, 12,7 millones de km para Sagittarius A*. Cuando actúan los dos efectos, los factores se multiplican. El ritmo del reloj de a bordo respecto a un observador lejano es:
dτ/dt = √(1 − v²/c²) · ∏ √(1 − rₛ,ᵢ / rᵢ)
El modelo calcula este producto para cada masa del recorrido (la Tierra, el Sol, Sagittarius A* y los tres gigantes) y lo compara con el mismo cálculo para el reloj de la Tierra. Que, por cierto, también va lento: está en el pozo gravitatorio de la Tierra y del Sol y pierde unos 1,06×10⁻⁸, una cienmillonésima.
Veinte años a 1 g
Un cohete que mantiene una aceleración constante g, la que siente la tripulación, nunca alcanza la velocidad de la luz. La forma natural de describirlo es la rapidez φ, que crece de forma lineal con el tiempo de a bordo τ:
φ = g·τ / c (rapidez) v = c · tanh φ t = (c/g) · sinh φ (tiempo en la Tierra) x = (c²/g) · (cosh φ − 1) (distancia recorrida)
Aquí el factor de Lorentz es γ = cosh φ, y crece de forma exponencial. Llegar a mitad de camino, a 13.350 años luz, lleva solo 9,9 años de a bordo. En ese punto γ vale 13.782, la velocidad es c menos 0,8 m/s y un segundo a bordo equivale a 3 horas y 49 minutos en la Tierra. Frenar es lo mismo al revés: la ida dura 19,8 años para la tripulación y 26.702 para la Tierra.
Con estas fórmulas el tiempo de a bordo de las fases a 1 g es exacto, no una aproximación numérica. La corrección gravitatoria, minúscula en estos tramos, se añade integrando numéricamente.
Un año en la esfera de fotones
Alrededor de un agujero negro que no gira hay un radio especial, 1,5 rₛ: la esfera de fotones, donde incluso la luz puede orbitar. Por debajo no existen órbitas circulares. El cohete se coloca a 1,51 rₛ, justo encima, a 19,2 millones de km del centro.
A esa distancia una órbita circular necesita 0,9901 c, medidos por un observador en reposo en ese punto. Gravedad y velocidad se combinan en una forma muy limpia:
√(1 − rₛ/r) · √(1 − v²/c²) = √(1 − 3rₛ/2r) = 0,0814 (r = 1,51 rₛ)
Un año a bordo equivale a 12,3 años en la Tierra. Una vuelta dura 11 minutos y 37 segundos para un observador lejano, así que en ese año el cohete da unas 555.600. La órbita es inestable: en la realidad necesitaría correcciones continuas.
Aquí le debo una aclaración a Interstellar. En el planeta de Miller una hora equivale a siete años, un factor de unos 60.000. Alrededor de un agujero negro que no gira, las órbitas circulares estables terminan en 3 rₛ, donde el factor es solo 1,41. Más cerca las órbitas son inestables y el factor solo crece al acercarse a la esfera de fotones, como hace el cohete del modelo. Gargantúa, en cambio, gira casi a la velocidad máxima posible (métrica de Kerr), y es el giro lo que permite órbitas estables tan cerca del horizonte. Sagittarius A* también gira, pero cuánto todavía no está bien medido: el modelo lo trata como si no girara para mantener las fórmulas legibles.
El efecto honda
Para cambiar de rumbo entre los planetas gigantes el cohete no usa los motores: usa la gravedad. Cada paso es una órbita hiperbólica calculada con la versión hiperbólica de la ecuación de Kepler:
r = a · (e·cosh F − 1) t = (e·sinh F − F) / √(GM/a³) sin(δ/2) = 1/e (ángulo de desviación)
Un detalle decidió la velocidad de esta fase. A 0,2 c incluso un planeta de 13 masas de Júpiter desviaría el cohete una cienmilésima de radián, es decir, nada. Una honda de verdad necesita un paso lento, así que el cohete cruza la zona a 150 km/s. Los tres gigantes lo desvían entonces 20°, 35° y 42,3°, pasando a 1,39, 1,61 y 1,86 radios planetarios de su centro. El último ángulo está calculado para que el cohete salga ya apuntando a la Tierra.
Otra aclaración: respecto al planeta, la velocidad después del paso es igual a la de antes. Una honda solo cambia la velocidad si el planeta se mueve respecto a quien observa, como les pasa a las sondas que aprovechan Júpiter. Los planetas del modelo, inventados para la ocasión, están quietos unos respecto a otros, así que solo sirven para girar.
Es también el único tramo en el que los dos efectos están a la par: a 150 km/s el término de velocidad vale unos 1,3×10⁻⁷ y el gravitatorio del planeta más grande 1,4×10⁻⁷. En todo el viaje los tres gigantes retrasan el cohete 4 milisegundos. Incluso un planeta enorme apenas afecta al tiempo.
La cuenta final
El modelo mantiene separadas las contribuciones a la diferencia entre los dos relojes. Cuando dos efectos actúan a la vez, la diferencia se reparte en proporción al logaritmo de cada factor, así la suma cuadra exactamente:
- Velocidad: 53.373 años
- Gravedad de Sagittarius A*: 2,44 años
- Gravedad de los planetas gigantes: 4 milisegundos
- Pozos gravitatorios de la Tierra y del Sol: menos 4 horas y 57 minutos. Es negativo porque, lejos del Sistema Solar, el reloj del cohete va un poco más rápido que el que se quedó en la Tierra
En total: 40,7 años para la tripulación, 53.416 para la Tierra.
Cómo está construido
Todo el viaje se calcula una sola vez, al abrir la página: unos 15.000 puntos repartidos en 14 fases, cada una con sus fórmulas. Para cada punto el modelo guarda el tiempo en la Tierra, el tiempo de a bordo, la velocidad, la distancia a cada masa y las contribuciones separadas a la diferencia. La animación interpola entre estos puntos, y por eso se puede avanzar, retroceder o pararse en cualquier momento sin perder precisión.
También hacen falta algunos trucos numéricos. A c menos 0,8 m/s, calcular 1 − v²/c² directamente haría perder todas las cifras significativas, así que el modelo parte de la rapidez. Para los términos gravitatorios, que pueden valer 10⁻²⁰, usa funciones como log1p y expm1, que se mantienen precisas cerca de 1.
Las simplificaciones, con honestidad. El cohete es ideal y tiene energía ilimitada. La Tierra y Sagittarius A* se consideran en reposo entre sí. Se ignoran el movimiento del Sol por la galaxia, la rotación y la órbita de la Tierra y el potencial de la galaxia, todos por debajo de 10⁻⁶. La lista completa está en el panel “Model and assumptions” de la aplicación.
