C’è una scena di Interstellar che non mi è mai uscita dalla testa. L’equipaggio scende su un pianeta che orbita attorno a Gargantua, un buco nero enorme, e ci resta qualche ora. Quando risale, per chi era rimasto sull’astronave sono passati ventitré anni. E poi i messaggi dalla Terra: figli cresciuti, poi invecchiati, che parlano a un padre che per loro non è mai tornato.
L’ho sempre presa per buona, come si prendono per buone le cose dei film: con una fiducia generica nel fatto che dietro ci fosse della fisica vera. Dietro c’era Kip Thorne, quindi sì. Però i conti non li avevo mai fatti. Quanto bisogna andare veloci perché il tempo rallenti davvero? Quanto vicino a un buco nero? E conta di più la velocità o la gravità?
Dopo Solar Drift, questa volta ho voluto usare Claude per qualcosa di più ambizioso: costruire un modello che rappresentasse gli effetti relativistici di un viaggio nello spazio, quelli che ho sempre visto al cinema, ma con i numeri veri. Il risultato è Time Drift, un’applicazione che gira nel browser.
Il viaggio
Un razzo parte dalla Terra e accelera a 1 g costante, la stessa accelerazione che sentiamo stando in piedi: l’equipaggio viaggia comodo. A metà strada si gira e frena. La destinazione è Sagittarius A*, il buco nero da 4,3 milioni di masse solari al centro della Via Lattea, a 26.700 anni luce da qui.
Arrivato, il razzo scende a spirale fino a sfiorare la sfera fotonica, la zona in cui orbita anche la luce, e ci resta un anno. Poi risale, attraversa un gruppo di tre pianeti giganti usando l’effetto fionda per cambiare rotta, e torna a casa, di nuovo a 1 g.
Sullo schermo ci sono due orologi con calendario, uno sulla Terra e uno sul razzo. Alla partenza segnano lo stesso istante. Poi si separano, e non di poco. Il risultato finale mi ha lasciato un po’ così: l’equipaggio invecchia di poco più di 40 anni, sulla Terra ne passano 53.416. Chi parte oggi atterra oltre l’anno 55.000.
Cosa si vede
- La vista del viaggio: il razzo, la Terra, il buco nero con il suo disco di accrescimento, i pianeti giganti e la traiettoria
- I due orologi con calendario, Terra e razzo, con il distacco accumulato e il rapporto del momento (“1 secondo a bordo = … sulla Terra”)
- In basso, le equazioni che si aggiornano in tempo reale: ogni termine compare quando diventa rilevante
- Una piccola vista in avanti che mostra come si deforma il cielo a velocità vicine a quella della luce
- Una mappa dell’intero percorso
Comandi
- Play, pausa, riproduzione all’indietro e salto tra le 14 fasi del viaggio
- Velocità da ¼× a 4× e timeline trascinabile
- Da tastiera: spazio per la pausa, frecce per muoversi, R per tornare indietro
- A fine giro il viaggio riparte da solo
Fin qui ci arrivo. Ma quando si passa alle metriche di Schwarzschild, alle rapidità e alle iperboli di Keplero, la mia fisica del liceo alza bandiera bianca. Per i dettagli su formule, calcoli e su come è costruito il modello passo quindi la parola direttamente a Claude, che quelle cose le ha scritte e, a quanto pare, le ha anche capite.
La parola a Claude
Grazie. Provo a spiegare cosa c’è dietro i numeri. Una premessa: la vista è schematica, perché distanze che vanno da 6.000 km a 26.700 anni luce non stanno sullo stesso schermo. Direzioni e angoli di virata sono veri, le distanze sono compresse. I numeri nei pannelli invece sono calcolati esattamente.
Due modi di rallentare un orologio
La relatività prevede due effetti distinti. Il primo è della relatività ristretta: un orologio in movimento rallenta rispetto a uno fermo, di un fattore dato dal fattore di Lorentz.
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Il secondo è della relatività generale: un orologio immerso in un campo gravitazionale rallenta rispetto a uno lontano dalle masse. Per una massa sferica non rotante vale la metrica di Schwarzschild.
dτ/dt = √(1 − rₛ/r) rₛ = 2GM/c²
rₛ è il raggio di Schwarzschild: 8,9 mm per la Terra, 3 km per il Sole, 12,7 milioni di km per Sagittarius A*. Quando agiscono entrambi gli effetti, i fattori si moltiplicano. Il ritmo dell’orologio di bordo rispetto a un osservatore lontano è:
dτ/dt = √(1 − v²/c²) · ∏ √(1 − rₛ,ᵢ / rᵢ)
Il modello calcola questo prodotto per ogni massa del viaggio (Terra, Sole, Sagittarius A* e i tre giganti) e lo confronta con lo stesso calcolo fatto per l’orologio sulla Terra. Anche quello, per inciso, va lento: sta nel pozzo gravitazionale della Terra e del Sole e perde circa 1,06×10⁻⁸, un centesimo di milionesimo.
Accelerare a 1 g per vent’anni
Un razzo che mantiene un’accelerazione costante g, quella percepita dall’equipaggio, non raggiunge mai la velocità della luce. Per descriverlo conviene usare la rapidità φ, che cresce in modo lineare con il tempo di bordo τ:
φ = g·τ / c (rapidità) v = c · tanh φ t = (c/g) · sinh φ (tempo sulla Terra) x = (c²/g) · (cosh φ − 1) (distanza percorsa)
Il fattore di Lorentz qui è γ = cosh φ e cresce in modo esponenziale. Per arrivare a metà strada, a 13.350 anni luce, bastano 9,9 anni di bordo. A quel punto γ vale 13.782, la velocità è c meno 0,8 m/s e un secondo a bordo corrisponde a 3 ore e 49 minuti sulla Terra. La frenata è la stessa cosa al contrario: l’andata dura 19,8 anni per l’equipaggio e 26.702 per la Terra.
Con queste formule il tempo di bordo delle fasi a 1 g è esatto, non un’approssimazione numerica. La correzione gravitazionale, minuscola in questi tratti, viene aggiunta integrando numericamente.
Un anno sulla sfera fotonica
Attorno a un buco nero non rotante c’è un raggio speciale, 1,5 rₛ: la sfera fotonica, dove anche la luce può orbitare. Più in basso non esistono orbite circolari. Il razzo si mette a 1,51 rₛ, appena sopra, a 19,2 milioni di km dal centro.
A quella distanza un’orbita circolare richiede 0,9901 c, misurati da un osservatore fermo in quel punto. Gravità e velocità si combinano in una forma molto pulita:
√(1 − rₛ/r) · √(1 − v²/c²) = √(1 − 3rₛ/2r) = 0,0814 (r = 1,51 rₛ)
Un anno di bordo corrisponde a 12,3 anni sulla Terra. Un giro dura 11 minuti e 37 secondi per un osservatore lontano, quindi in quell’anno il razzo ne compie circa 555.600. L’orbita è instabile: nella realtà servirebbero correzioni continue.
Qui devo una precisazione a Interstellar. Sul pianeta di Miller un’ora vale sette anni, un fattore di circa 60.000. Attorno a un buco nero non rotante le orbite circolari stabili finiscono a 3 rₛ, dove il fattore è appena 1,41. Più vicino le orbite sono instabili e il fattore cresce solo avvicinandosi alla sfera fotonica, come fa il razzo del modello. Gargantua invece ruota quasi alla velocità massima possibile (metrica di Kerr), ed è la rotazione che permette orbite stabili così vicine all’orizzonte. Anche Sagittarius A* ruota, ma di quanto non è ancora ben misurato: il modello lo tratta come non rotante per tenere le formule leggibili.
L’effetto fionda
Per cambiare rotta tra i pianeti giganti il razzo non usa i motori, sfrutta la gravità. Ogni passaggio è un’orbita iperbolica calcolata con la versione iperbolica dell’equazione di Keplero:
r = a · (e·cosh F − 1) t = (e·sinh F − F) / √(GM/a³) sin(δ/2) = 1/e (angolo di deviazione)
Un dettaglio ha deciso la velocità di questa fase. A 0,2 c anche un pianeta di 13 masse gioviane devierebbe il razzo di un centomillesimo di radiante, cioè di niente. Per una fionda vera il razzo deve passare piano, e attraversa la zona a 150 km/s. Così i tre giganti lo deviano di 20°, 35° e 42,3°, con passaggi a 1,39, 1,61 e 1,86 raggi planetari dal centro. L’ultimo angolo è calcolato in modo che il razzo esca già puntato verso la Terra.
Un’altra precisazione: rispetto al pianeta, la velocità dopo il passaggio è uguale a quella prima. Una fionda cambia la velocità solo se il pianeta si muove rispetto a chi osserva, come succede alle sonde che sfruttano Giove. I pianeti del modello, inventati per l’occasione, sono fermi l’uno rispetto all’altro, quindi servono solo a sterzare.
È anche l’unico tratto in cui i due effetti si equivalgono: a 150 km/s il termine di velocità vale circa 1,3×10⁻⁷, quello gravitazionale del pianeta più grande 1,4×10⁻⁷. Su tutto il viaggio i tre giganti fanno accumulare al razzo 4 millisecondi di ritardo. Anche un pianeta enorme incide pochissimo sul tempo.
Il conto finale
Il modello tiene separati i contributi al distacco tra i due orologi. Quando due effetti agiscono insieme, il distacco viene diviso in proporzione al logaritmo di ciascun fattore, così la somma torna esatta:
- Velocità: 53.373 anni
- Gravità di Sagittarius A*: 2,44 anni
- Gravità dei pianeti giganti: 4 millisecondi
- Pozzi gravitazionali di Terra e Sole: meno 4 ore e 57 minuti. Il segno è negativo perché, lontano dal Sistema solare, l’orologio del razzo va leggermente più veloce di quello rimasto sulla Terra
In totale: 40,7 anni per l’equipaggio, 53.416 per la Terra.
Come è costruito
L’intero viaggio viene calcolato una volta sola, all’apertura della pagina: circa 15.000 punti divisi in 14 fasi, ognuna con le sue formule. Per ogni punto il modello salva il tempo sulla Terra, il tempo di bordo, la velocità, la distanza da ogni massa e i contributi separati al distacco. L’animazione interpola tra questi punti, ed è per questo che si può andare avanti, indietro o fermarsi in qualsiasi momento senza perdere precisione.
Serve anche qualche accorgimento numerico. Con una velocità di c meno 0,8 m/s, calcolare 1 − v²/c² direttamente farebbe perdere tutte le cifre significative, quindi il modello parte dalla rapidità. Per i termini gravitazionali, che possono valere 10⁻²⁰, usa funzioni come log1p ed expm1, che restano precise vicino a 1.
Le semplificazioni, per onestà. Il razzo è ideale e ha energia illimitata. La Terra e Sagittarius A* sono considerati fermi l’uno rispetto all’altro. Sono ignorati il moto del Sole nella galassia, la rotazione e l’orbita della Terra e il potenziale della galassia, tutti sotto 10⁻⁶. L’elenco completo è nel pannello “Model and assumptions” dell’applicazione.
