Il y a une scène d’Interstellar qui ne m’est jamais sortie de la tête. L’équipage descend sur une planète en orbite autour de Gargantua, un trou noir énorme, et y reste quelques heures. Quand ils remontent, vingt-trois ans ont passé pour celui qui était resté à bord. Puis viennent les messages de la Terre : des enfants qui ont grandi, puis vieilli, et qui parlent à un père qui, pour eux, n’est jamais revenu.
Je l’ai toujours prise pour argent comptant, comme on le fait avec les films : avec une confiance vague dans le fait qu’il y avait de la vraie physique derrière. Derrière, il y avait Kip Thorne, donc oui. Mais je n’avais jamais fait les calculs. À quelle vitesse faut-il aller pour que le temps ralentisse vraiment ? À quelle distance d’un trou noir ? Et qu’est-ce qui compte le plus, la vitesse ou la gravité ?
Après Solar Drift, j’ai voulu cette fois utiliser Claude pour quelque chose de plus ambitieux : un modèle des effets relativistes d’un voyage spatial, ceux que j’ai toujours vus au cinéma, mais avec les vrais chiffres. Le résultat, c’est Time Drift, une application qui tourne dans le navigateur.
Le voyage
Une fusée quitte la Terre et accélère à 1 g constant, la même accélération que nous ressentons debout : l’équipage voyage confortablement. À mi-chemin, elle se retourne et freine. La destination est Sagittarius A*, le trou noir de 4,3 millions de masses solaires au centre de la Voie lactée, à 26 700 années-lumière d’ici.
Une fois arrivée, la fusée descend en spirale jusqu’à frôler la sphère de photons, où même la lumière est en orbite, et y reste un an. Puis elle remonte, traverse un groupe de trois planètes géantes en utilisant l’effet de fronde pour changer de cap, et rentre à la maison, de nouveau à 1 g.
À l’écran, deux horloges avec calendrier, une sur Terre et une dans la fusée. Au départ, elles indiquent le même instant. Puis elles se séparent, et pas qu’un peu. Le résultat final m’a laissé un peu sonné : l’équipage vieillit d’un peu plus de 40 ans, tandis que 53 416 ans passent sur Terre. Partir aujourd’hui, c’est atterrir après l’an 55 000.
Ce que l’on voit
- La vue du voyage : la fusée, la Terre, le trou noir et son disque d’accrétion, les planètes géantes et la trajectoire
- Les deux horloges avec calendrier, Terre et fusée, avec l’écart accumulé et le rythme du moment (« 1 s à bord = … sur Terre »)
- En bas, les équations mises à jour en temps réel : chaque terme apparaît quand il devient pertinent
- Une petite vue vers l’avant qui montre comment le ciel se déforme près de la vitesse de la lumière
- Une carte de tout le parcours
Commandes
- Lecture, pause, lecture à l’envers et sauts entre les 14 phases du voyage
- Vitesse de ¼× à 4× et frise chronologique à faire glisser
- Clavier : espace pour la pause, flèches pour se déplacer, R pour revenir en arrière
- À la fin, le voyage recommence tout seul
Jusque-là, je suis. Mais quand on passe aux métriques de Schwarzschild, aux rapidités et aux hyperboles de Kepler, ma physique de lycée agite le drapeau blanc. Pour les détails sur les formules, les calculs et la construction du modèle, je passe donc directement la parole à Claude, qui a écrit tout ça et qui, apparemment, l’a même compris.
La parole à Claude
Merci. Je vais essayer d’expliquer ce qu’il y a derrière les chiffres. D’abord, la vue est schématique : des distances qui vont de 6 000 km à 26 700 années-lumière ne tiennent pas sur un même écran. Les directions et les angles de virage sont exacts, les distances sont compressées. Les chiffres des panneaux, eux, sont calculés exactement.
Deux façons de ralentir une horloge
La relativité prévoit deux effets distincts. Le premier vient de la relativité restreinte : une horloge en mouvement retarde par rapport à une horloge au repos, selon le facteur de Lorentz.
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Le second vient de la relativité générale : une horloge plongée dans un champ gravitationnel retarde par rapport à une horloge loin de toute masse. Pour une masse sphérique sans rotation, c’est la métrique de Schwarzschild qui s’applique.
dτ/dt = √(1 − rₛ/r) rₛ = 2GM/c²
rₛ est le rayon de Schwarzschild : 8,9 mm pour la Terre, 3 km pour le Soleil, 12,7 millions de km pour Sagittarius A*. Quand les deux effets agissent, les facteurs se multiplient. Le rythme de l’horloge de bord par rapport à un observateur lointain est :
dτ/dt = √(1 − v²/c²) · ∏ √(1 − rₛ,ᵢ / rᵢ)
Le modèle calcule ce produit pour chaque masse du parcours (la Terre, le Soleil, Sagittarius A* et les trois géantes) et le compare au même calcul pour l’horloge terrestre. Celle-ci retarde aussi, d’ailleurs : elle se trouve dans le puits gravitationnel de la Terre et du Soleil et perd environ 1,06×10⁻⁸, un cent-millionième.
Vingt ans à 1 g
Une fusée qui maintient une accélération constante g, celle que ressent l’équipage, n’atteint jamais la vitesse de la lumière. La façon naturelle de la décrire est la rapidité φ, qui croît linéairement avec le temps de bord τ :
φ = g·τ / c (rapidité) v = c · tanh φ t = (c/g) · sinh φ (temps sur Terre) x = (c²/g) · (cosh φ − 1) (distance parcourue)
Ici, le facteur de Lorentz vaut γ = cosh φ et croît de façon exponentielle. Atteindre la mi-parcours, à 13 350 années-lumière, ne prend que 9,9 ans à bord. À ce moment, γ vaut 13 782, la vitesse est c moins 0,8 m/s et une seconde à bord correspond à 3 heures 49 minutes sur Terre. Le freinage, c’est la même chose à l’envers : l’aller dure 19,8 ans pour l’équipage et 26 702 ans pour la Terre.
Avec ces formules, le temps de bord des phases à 1 g est exact, pas une approximation numérique. La correction gravitationnelle, minuscule sur ces tronçons, est ajoutée par intégration numérique.
Un an sur la sphère de photons
Autour d’un trou noir sans rotation, il existe un rayon particulier, 1,5 rₛ : la sphère de photons, où même la lumière peut être en orbite. En dessous, il n’existe pas d’orbite circulaire. La fusée se place à 1,51 rₛ, juste au-dessus, à 19,2 millions de km du centre.
À cette distance, une orbite circulaire exige 0,9901 c, mesurés par un observateur immobile en ce point. Gravité et vitesse se combinent sous une forme très élégante :
√(1 − rₛ/r) · √(1 − v²/c²) = √(1 − 3rₛ/2r) = 0,0814 (r = 1,51 rₛ)
Un an à bord correspond à 12,3 ans sur Terre. Un tour dure 11 minutes 37 secondes pour un observateur lointain, donc pendant cette année la fusée en fait environ 555 600. L’orbite est instable : en réalité, il faudrait des corrections permanentes.
Je dois ici une précision à Interstellar. Sur la planète de Miller, une heure vaut sept ans, soit un facteur d’environ 60 000. Autour d’un trou noir sans rotation, les orbites circulaires stables s’arrêtent à 3 rₛ, où le facteur n’est que de 1,41. Plus près, les orbites sont instables et le facteur ne grandit qu’en s’approchant de la sphère de photons, comme le fait la fusée du modèle. Gargantua, en revanche, tourne presque à la vitesse maximale possible (métrique de Kerr), et c’est cette rotation qui permet des orbites stables si près de l’horizon. Sagittarius A* tourne aussi, mais on ne sait pas encore bien à quelle vitesse : le modèle le traite comme sans rotation pour garder des formules lisibles.
L’effet de fronde
Pour changer de cap entre les planètes géantes, la fusée n’utilise pas ses moteurs : elle utilise la gravité. Chaque passage est une orbite hyperbolique calculée avec la version hyperbolique de l’équation de Kepler :
r = a · (e·cosh F − 1) t = (e·sinh F − F) / √(GM/a³) sin(δ/2) = 1/e (angle de déviation)
Un détail a fixé la vitesse de cette phase. À 0,2 c, même une planète de 13 masses joviennes dévierait la fusée d’un cent-millième de radian, autrement dit de rien. Une vraie fronde demande un passage lent, donc la fusée traverse la zone à 150 km/s. Les trois géantes la dévient alors de 20°, 35° et 42,3°, avec des passages à 1,39, 1,61 et 1,86 rayons planétaires de leur centre. Le dernier angle est calculé pour que la fusée reparte déjà pointée vers la Terre.
Autre précision : par rapport à la planète, la vitesse après le passage est égale à celle d’avant. Une fronde ne change la vitesse que si la planète se déplace par rapport à l’observateur, comme pour les sondes qui utilisent Jupiter. Les planètes du modèle, inventées pour l’occasion, sont immobiles les unes par rapport aux autres : elles ne servent qu’à tourner.
C’est aussi le seul tronçon où les deux effets se valent : à 150 km/s, le terme de vitesse vaut environ 1,3×10⁻⁷, le terme gravitationnel de la plus grosse planète 1,4×10⁻⁷. Sur tout le voyage, les trois géantes font prendre 4 millisecondes de retard à la fusée. Même une planète énorme touche à peine au temps.
Le compte final
Le modèle sépare les contributions à l’écart entre les deux horloges. Quand deux effets agissent ensemble, l’écart est réparti en proportion du logarithme de chaque facteur, pour que la somme tombe juste :
- Vitesse : 53 373 ans
- Gravité de Sagittarius A* : 2,44 ans
- Gravité des planètes géantes : 4 millisecondes
- Puits gravitationnels de la Terre et du Soleil : moins 4 heures 57 minutes. C’est négatif parce que, loin du Système solaire, l’horloge de la fusée avance un peu plus vite que celle restée sur Terre
Au total : 40,7 ans pour l’équipage, 53 416 pour la Terre.
Comment c’est construit
Tout le voyage est calculé une seule fois, à l’ouverture de la page : environ 15 000 points répartis sur 14 phases, chacune avec ses formules. Pour chaque point, le modèle enregistre le temps sur Terre, le temps de bord, la vitesse, la distance à chaque masse et les contributions séparées à l’écart. L’animation interpole entre ces points, c’est pourquoi on peut avancer, reculer ou s’arrêter à tout moment sans perdre en précision.
Il faut aussi quelques astuces numériques. À c moins 0,8 m/s, calculer 1 − v²/c² directement ferait perdre tous les chiffres significatifs : le modèle part donc de la rapidité. Pour les termes gravitationnels, qui peuvent valoir 10⁻²⁰, il utilise des fonctions comme log1p et expm1, qui restent précises près de 1.
Les simplifications, en toute honnêteté. La fusée est idéale et dispose d’une énergie illimitée. La Terre et Sagittarius A* sont considérés comme immobiles l’un par rapport à l’autre. Le mouvement du Soleil dans la galaxie, la rotation et l’orbite de la Terre et le potentiel de la galaxie sont ignorés, tous inférieurs à 10⁻⁶. La liste complète se trouve dans le panneau « Model and assumptions » de l’application.
