Es gibt eine Szene in Interstellar, die mir nie aus dem Kopf gegangen ist. Die Crew landet auf einem Planeten, der Gargantua umkreist, ein riesiges Schwarzes Loch, und bleibt dort ein paar Stunden. Als sie zurückkommen, sind für den, der an Bord geblieben ist, dreiundzwanzig Jahre vergangen. Dann die Nachrichten von der Erde: Kinder, die erwachsen und dann alt geworden sind und zu einem Vater sprechen, der für sie nie zurückgekehrt ist.
Ich habe das immer einfach geglaubt, so wie man Dinge aus Filmen glaubt: mit einem vagen Vertrauen darauf, dass echte Physik dahintersteckt. Dahinter steckte Kip Thorne, also ja. Nachgerechnet hatte ich es aber nie. Wie schnell muss man fliegen, damit die Zeit wirklich langsamer vergeht? Wie nah an ein Schwarzes Loch? Und was zählt mehr, Geschwindigkeit oder Gravitation?
Nach Solar Drift wollte ich Claude diesmal für etwas Ehrgeizigeres einsetzen: ein Modell der relativistischen Effekte einer Raumreise, wie ich sie immer im Kino gesehen habe, aber mit echten Zahlen. Das Ergebnis ist Time Drift, eine App, die im Browser läuft.
Die Reise
Eine Rakete startet von der Erde und beschleunigt konstant mit 1 g, derselben Beschleunigung, die wir im Stehen spüren: Die Crew reist bequem. Auf halber Strecke dreht sie um und bremst. Das Ziel ist Sagittarius A*, das Schwarze Loch mit 4,3 Millionen Sonnenmassen im Zentrum der Milchstraße, 26.700 Lichtjahre von hier.
Dort angekommen, sinkt die Rakete in einer Spirale bis knapp an die Photonensphäre, wo selbst Licht kreist, und bleibt ein Jahr. Dann steigt sie wieder auf, durchquert eine Gruppe von drei Riesenplaneten, nutzt den Swing-by-Effekt für Kurswechsel und fliegt nach Hause, wieder mit 1 g.
Auf dem Bildschirm gibt es zwei Uhren mit Kalender, eine auf der Erde und eine in der Rakete. Beim Start zeigen sie denselben Moment. Dann laufen sie auseinander, und zwar gewaltig. Das Endergebnis hat mich ziemlich sprachlos gemacht: Die Crew altert um gut 40 Jahre, auf der Erde vergehen 53.416. Wer heute startet, landet nach dem Jahr 55.000.
Was man sieht
- Die Ansicht der Reise: die Rakete, die Erde, das Schwarze Loch mit seiner Akkretionsscheibe, die Riesenplaneten und die Flugbahn
- Die beiden Uhren mit Kalender, Erde und Rakete, mit dem angesammelten Abstand und dem aktuellen Verhältnis („1 s an Bord = … auf der Erde“)
- Unten die Gleichungen, die sich in Echtzeit aktualisieren: Jeder Term erscheint, sobald er relevant wird
- Ein kleiner Blick nach vorn, der zeigt, wie sich der Himmel nahe der Lichtgeschwindigkeit verzerrt
- Eine Karte der gesamten Route
Steuerung
- Abspielen, Pause, Rückwärtslauf und Sprünge zwischen den 14 Phasen der Reise
- Geschwindigkeit von ¼× bis 4× und verschiebbare Zeitleiste
- Tastatur: Leertaste für Pause, Pfeiltasten zum Springen, R für rückwärts
- Am Ende beginnt die Reise von selbst neu
So weit komme ich mit. Aber sobald es um Schwarzschild-Metriken, Rapiditäten und Keplers Hyperbeln geht, hisst meine Schulphysik die weiße Flagge. Für die Details zu Formeln, Berechnungen und zum Aufbau des Modells übergebe ich deshalb direkt an Claude, der das alles geschrieben und offenbar sogar verstanden hat.
Claude hat das Wort
Danke. Ich versuche zu erklären, was hinter den Zahlen steckt. Vorweg: Die Ansicht ist schematisch, denn Entfernungen von 6.000 km bis 26.700 Lichtjahren passen nicht auf einen Bildschirm. Richtungen und Kurswinkel stimmen, die Entfernungen sind gestaucht. Die Zahlen in den Panels dagegen werden exakt berechnet.
Zwei Arten, eine Uhr zu bremsen
Die Relativitätstheorie sagt zwei verschiedene Effekte voraus. Der erste stammt aus der speziellen Relativitätstheorie: Eine bewegte Uhr geht langsamer als eine ruhende, und zwar um den Lorentzfaktor.
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Der zweite stammt aus der allgemeinen Relativitätstheorie: Eine Uhr in einem Gravitationsfeld geht langsamer als eine weit entfernt von jeder Masse. Für eine kugelförmige, nicht rotierende Masse gilt die Schwarzschild-Metrik.
dτ/dt = √(1 − rₛ/r) rₛ = 2GM/c²
rₛ ist der Schwarzschild-Radius: 8,9 mm für die Erde, 3 km für die Sonne, 12,7 Millionen km für Sagittarius A*. Wirken beide Effekte, multiplizieren sich die Faktoren. Der Gang der Borduhr im Vergleich zu einem fernen Beobachter ist:
dτ/dt = √(1 − v²/c²) · ∏ √(1 − rₛ,ᵢ / rᵢ)
Das Modell berechnet dieses Produkt für jede Masse auf der Route (Erde, Sonne, Sagittarius A* und die drei Riesen) und vergleicht es mit derselben Rechnung für die Uhr auf der Erde. Die geht übrigens auch nach: Sie sitzt im Gravitationstrichter von Erde und Sonne und verliert etwa 1,06×10⁻⁸, ein Hundertmillionstel.
Zwanzig Jahre mit 1 g
Eine Rakete mit konstanter Beschleunigung g, der, die die Crew spürt, erreicht nie Lichtgeschwindigkeit. Am natürlichsten beschreibt man sie über die Rapidität φ, die linear mit der Bordzeit τ wächst:
φ = g·τ / c (Rapidität) v = c · tanh φ t = (c/g) · sinh φ (Zeit auf der Erde) x = (c²/g) · (cosh φ − 1) (zurückgelegte Strecke)
Der Lorentzfaktor ist hier γ = cosh φ und wächst exponentiell. Bis zur Hälfte der Strecke, 13.350 Lichtjahre, braucht es nur 9,9 Jahre Bordzeit. Dann ist γ gleich 13.782, die Geschwindigkeit liegt bei c minus 0,8 m/s, und eine Sekunde an Bord entspricht 3 Stunden 49 Minuten auf der Erde. Das Bremsen ist dasselbe rückwärts: Der Hinflug dauert für die Crew 19,8 Jahre und für die Erde 26.702.
Mit diesen Formeln ist die Bordzeit der 1-g-Phasen exakt, keine numerische Näherung. Die Gravitationskorrektur, auf diesen Strecken winzig, kommt per numerischer Integration hinzu.
Ein Jahr auf der Photonensphäre
Um ein nicht rotierendes Schwarzes Loch gibt es einen besonderen Radius, 1,5 rₛ: die Photonensphäre, auf der sogar Licht kreisen kann. Darunter gibt es keine Kreisbahnen. Die Rakete geht auf 1,51 rₛ, knapp darüber, 19,2 Millionen km vom Zentrum entfernt.
In diesem Abstand braucht eine Kreisbahn 0,9901 c, gemessen von einem Beobachter, der an diesem Punkt ruht. Gravitation und Geschwindigkeit ergeben zusammen eine sehr saubere Form:
√(1 − rₛ/r) · √(1 − v²/c²) = √(1 − 3rₛ/2r) = 0,0814 (r = 1,51 rₛ)
Ein Jahr an Bord entspricht 12,3 Jahren auf der Erde. Eine Runde dauert für einen fernen Beobachter 11 Minuten 37 Sekunden, in diesem Jahr schafft die Rakete also etwa 555.600 davon. Die Bahn ist instabil: In Wirklichkeit bräuchte sie ständige Korrekturen.
Hier schulde ich Interstellar eine Klarstellung. Auf Millers Planet ist eine Stunde sieben Jahre wert, ein Faktor von etwa 60.000. Um ein nicht rotierendes Schwarzes Loch enden stabile Kreisbahnen bei 3 rₛ, wo der Faktor nur 1,41 beträgt. Weiter innen sind die Bahnen instabil, und der Faktor wächst nur, wenn man sich der Photonensphäre nähert, wie es die Rakete im Modell tut. Gargantua dagegen rotiert fast so schnell wie physikalisch möglich (Kerr-Metrik), und erst die Rotation erlaubt stabile Bahnen so nah am Horizont. Auch Sagittarius A* rotiert, wie schnell, ist aber noch nicht gut gemessen: Das Modell behandelt es als nicht rotierend, damit die Formeln lesbar bleiben.
Der Swing-by
Für Kurswechsel zwischen den Riesenplaneten nutzt die Rakete nicht ihre Triebwerke, sondern die Gravitation. Jeder Vorbeiflug ist eine Hyperbelbahn, berechnet mit der hyperbolischen Form der Kepler-Gleichung:
r = a · (e·cosh F − 1) t = (e·sinh F − F) / √(GM/a³) sin(δ/2) = 1/e (Ablenkwinkel)
Ein Detail hat die Geschwindigkeit dieser Phase bestimmt. Bei 0,2 c würde selbst ein Planet mit 13 Jupitermassen die Rakete um ein Hunderttausendstel Radiant ablenken, also um nichts. Ein echter Swing-by braucht einen langsamen Vorbeiflug, deshalb durchquert die Rakete die Zone mit 150 km/s. Die drei Riesen lenken sie dann um 20°, 35° und 42,3° ab, im Abstand von 1,39, 1,61 und 1,86 Planetenradien vom Zentrum. Der letzte Winkel ist so berechnet, dass die Rakete bereits auf die Erde ausgerichtet weiterfliegt.
Noch eine Klarstellung: Relativ zum Planeten ist die Geschwindigkeit nach dem Vorbeiflug dieselbe wie davor. Ein Swing-by ändert die Geschwindigkeit nur, wenn sich der Planet relativ zum Beobachter bewegt, wie bei Sonden, die Jupiter nutzen. Die Planeten des Modells, eigens erfunden, ruhen relativ zueinander, sie dienen also nur zum Lenken.
Es ist auch die einzige Strecke, auf der beide Effekte gleichauf liegen: Bei 150 km/s beträgt der Geschwindigkeitsterm etwa 1,3×10⁻⁷, der Gravitationsterm des größten Planeten 1,4×10⁻⁷. Über die ganze Reise lassen die drei Riesen die Rakete um 4 Millisekunden zurückfallen. Selbst ein gewaltiger Planet beeinflusst die Zeit kaum.
Die Schlussrechnung
Das Modell hält die Beiträge zum Abstand zwischen den beiden Uhren getrennt. Wirken zwei Effekte gleichzeitig, wird der Abstand im Verhältnis zum Logarithmus jedes Faktors aufgeteilt, sodass die Summe genau aufgeht:
- Geschwindigkeit: 53.373 Jahre
- Gravitation von Sagittarius A*: 2,44 Jahre
- Gravitation der Riesenplaneten: 4 Millisekunden
- Gravitationstrichter von Erde und Sonne: minus 4 Stunden 57 Minuten. Negativ, weil die Uhr der Rakete weit weg vom Sonnensystem etwas schneller geht als die auf der Erde
Insgesamt: 40,7 Jahre für die Crew, 53.416 für die Erde.
Wie es gebaut ist
Die gesamte Reise wird einmal beim Öffnen der Seite berechnet: etwa 15.000 Punkte in 14 Phasen, jede mit eigenen Formeln. Für jeden Punkt speichert das Modell die Erdzeit, die Bordzeit, die Geschwindigkeit, den Abstand zu jeder Masse und die getrennten Beiträge zum Abstand der Uhren. Die Animation interpoliert zwischen diesen Punkten. Deshalb kann man jederzeit vor- und zurückspulen oder anhalten, ohne an Genauigkeit zu verlieren.
Dazu braucht es ein paar numerische Kniffe. Bei c minus 0,8 m/s würde man mit einer direkten Berechnung von 1 − v²/c² alle signifikanten Stellen verlieren, deshalb geht das Modell von der Rapidität aus. Für Gravitationsterme, die bis zu 10⁻²⁰ klein sein können, nutzt es Funktionen wie log1p und expm1, die nahe 1 genau bleiben.
Die Vereinfachungen, ganz ehrlich. Die Rakete ist ideal und hat unbegrenzt Energie. Erde und Sagittarius A* gelten als relativ zueinander ruhend. Ignoriert werden die Bewegung der Sonne durch die Galaxie, Rotation und Umlaufbahn der Erde und das Potenzial der Galaxie, alle unter 10⁻⁶. Die vollständige Liste steht im Panel „Model and assumptions“ der App.
